弁護士の最所です。
「祝日」と「休日」、どちらも、仕事や学校が休みとなる日という意味では共通しますが、法律上取り扱いが異なっています。
まず、祝日ですが、「国民の祝日に関する法律」第２条に、明確に定義されています。
具体的には、
・１月１日 元日 ・１月の第２月曜日 成人の日 ・政令で定める日 建国記念の日 ・春分日 春分の日 ・４月２９日 昭和の日 ・５月３日 憲法記念日 ・５月４日 みどりの日 ・５月５日 こどもの日 ・７月の第３月曜日 海の日 ・８月１１日 山の日 ・９月の第３月曜日 敬老の日 ・秋分日 秋分の日 ・１０月の第２月曜日 体育の日 ・１１月３日 文化の日 ・１１月２３日 勤労感謝の日 ・１２月２３日 天皇誕生日
です。これらが、「祝日」になります。
「祝日」は、「国民の祝日に関する法律」第３条１項で、「休日」となりますので、「祝日」であれば、必ず「休日」になります。
では、「祝日」でない「休日」があるかというと、これについては、「国民の祝日に関する法律」第３条２項３項で定められています。
「２ 「国民の祝日」が日曜日に当たるときは、その日後においてその日に最も近い「国民の祝日」でない日を休日とする。」
「３ その前日及び翌日が「国民の祝日」である日（「国民の祝日」でない日に限る。）は、休日とする。」
ようするに、いわゆる「振替休日」と「国民の休日」（「国民の祝日に関する法律」第３条３項：祝日に囲まれた日を休日とする）が、「祝日」ではないけれども、「休日」に該当することになります。
（元々は、５月４日を「休日」とするために、「国民の祝日に関する法律」第３条３項が定められたのだと思いますが、５月４日がみどりの日として「祝日」となったので、５月４日以外のところで、国民の休日が現れるようになっています。）
